Mathématiques pour physiciens L3 FIP

Travaux dirigés par Vassilis Papadopoulos et Guilhem Semerjian

Le recueil des énoncés des travaux dirigés et des séances de tutorat comporte la liste des exercices qui seront effectivement traités en séances, et en propose d'autres, de tous niveaux, destinés à l'entraînement.

Examen de seconde session : vendredi 20 mai 2022 de 09:00 à 12:00 en salle L367.

Corrigé du partiel de novembre 2019.

Corrigé du partiel de novembre 2020.

Corrigé du partiel de novembre 2021.

Quelques références utiles

[WA] W. Appel, Mathématiques pour la physique, et les physiciens, H&K

[LS] L. Schwartz, Méthodes mathématiques pour les sciences physiques, Hermann

[CZ] C. Zuily, Distributions, Hermann

[JD] J. Dieudonné, Calcul infinitésimal, Hermann

[AG] A. Gramain, Intégration, Hermann

[AA] A. Alastuey, M. Magro et P. Pujol, Physique et outils mathématiques : méthodes et exemples, EDP Sciences.

Déroulé du cours

1. Intégration et probabilités

21/09 : Mots clefs : univers, tribu, mesure, boréliens, fonctions étagées, intégrale de Lebesgue, changement de variable, et théorème de convergence dominée.

Il existe une construction de l'intégrale, dans un esprit un peu différent de celle de Riemann (mais qui l'inclut) qui permet d'aborder les manipulations de type interversion somme infinie/intégrale, ou dérivée par rapport à un paramètre/intégrale au moyen de théorèmes de convergence dominée. On introduit la notion d'ensemble de mesure nulle (qui permet aussi de donner un sens mathématique à la locution "presque partout"). La construction de l'intégrale repose sur la mesure de Lebesgue (essentiellement la longueur d'un intervalle sur la droite réelle). Les notions de tribu et de mesure seront utiles lorsqu'il s'agira de décrire la façon dont les probabilités et l'aléatoire sont décrit dans un cadre mathématique rigoureux.

À lire : ch3 de [WA]. Eventuellement lire à distance le ch 2. En complément du cours : sur la théorie de la mesure [AG] ou, peut-être moins formel, le polycopié d'Arnaud Guyader.

Lire la préface de Lebesgue dans son ouvrage Leçons sur l'intégration et la recherche des fonctions primitives.

En TD : 1.1, 1.2, 1.3, 1.4.

28/09 : Mots clefs : probabilités, discrètes et continues, jacobien

La construction de l'intégrale s'étend en plusieurs dimension, et la formule du changement de variables fait intervenir le déterminant de la matrice jacobienne. Retenir le vocabulaire des probabilités (loi, densité, fonction de répartition, moments, moments centrés, cumulants, fonction caractéristique ou génératrice).

À voir en complément : sur le jacobien, voir 3blue1brown. Sur les cumulants et les corrélations connexes voir ceci pour les liens avec les graphes.

Une petite note sur la formule de transfert.

En TD : 1.9 , 1.10 , 1.11 , 1.12

05/10 : Mots clefs : la gaussienne/loi normale, et le théorème central limite, entropie de Kullback-Leibler

La loi normale est la densité de probabilité dont il faut tout connaître (ses moments, ses cumulants) mais bien d'autres lois font partie de la bibliothèque obligée. On a passé en revue les différents types de convergence impliquant des variables aléatoires, et mis l'accent sur le théorème central limite dont la robustesse sous-tend bien des résultats de physique statistique. On a conclut en présentant quelques éléments de théorie de l'information.

À lire : ch 20 et 21 de [WA] sur les variables aléatoires et les théorèmes limites.

En complément du cours : les notes de Gavin Crooks sur la théorie de l'information sont remarquables (voir ici et là). Il y a aussi une présentation des lois les plus courantes, pour aller au-delà des exemples canoniques présentés en cours (à ne pas lire d'une traite, seulement pour picorer).

En TD : 1.12 , 1.13, 1.16

En tutorat (le 07/10) : 1.18, 1.17, 1.15

Trois types de convergence (presque sûre, en probabilité, en loi) : la preuve de l'implication "sûre implique probabilité implique loi". La démonstration n'est pas à connaître.

12/10 : Mots clefs : grandes déviations, information, jacobienne, hessienne, convexité, caractérisation d'un minimum, sur un ensemble convexe, pour des fonctions convexes

La notion de probabilité d'un événement rare est quantifiée par la fonction de grande déviation. La divergence de Kullback-Leibler mesure le degré de similitude de deux distributions.

2. Fonctions de plusieurs variables

Si la hessienne existe et est définie positive on a un minimum local ; les points critiques comme extrema à l'intérieur d'un compact (et sinon voir sur le bord).

À lire : annexe B de [WA]

En complément du cours : quelques notes sur les opérateurs différentiels et le théorème de Green-Riemann dans ses applications en physique. Lire ou regarder le cours d'A. d'Aspremont d'optimisation convexe (notamment l'introduction à la convexité).

En TD : 1.21, 2.1, 2.2

En tutorat : 2.7, 2.8

19/10 : Mots clefs : minimum avec contraintes égalités (multiplicateurs de Lagrange) et minimum avec contraintes inégalités (Karush-Kuhn-Tucker).

Le théorème de Karush-Kuhn-Tucker pour les problèmes d'extrema avec contraintes inégalités fait aussi intervenir des multiplicateurs et une fonction auxiliaire.

Une petite note sur les multiplicateurs de Lagrange.

26/10 : Mots clefs : convergence d'une série dans le plan complexe, fonctions analytiques, principe des zéros isolés, principe du prolongement, principe du maximum

3. Fonctions de la variable complexe

Les fonctions analytiques sont les fonctions développables en série entière. Leur comportement dans un ouvert détermine leur comportement partout.

02/11 : Mots clefs : chemin, lacet, homotopie, intégrale dans le plan complexe, indice, théorème et formule de Cauchy

L'intégrale dans le plan complexe est vue comme une intégrale le long d'un chemin paramétré. Parfois, certaines intégrales ne dépendent pas du chemin suivi. Mais la topologie de l'espace (le fait qu'il soit simplement connexe ou non) joue un rôle important. L'indice d'un point par rapport à un lacet est le nombre (algébrique) de fois que lacet entoure le point.

09/11 : Mots clefs : , singularités des fonctions analytiques (série de Laurent, pôle, formule des résidus)

Pas de TD. Partiel de 2h à la place.

16/11 : Mots clefs : application des résidus, notion de coupure, logarithme.

23/11 : Mots clefs : méthode du col. Puis début du chapitre sur les Distributions : de la nécessité de manipuler des objets moins réguliers que les fonctions, notion de distribution

4. Distributions

Les distributions sont des formes linéaires sur les fonctions infiniment dérivables à support compact. Elles incluent les fonctions et vont au-delà. Se manipulent comme les fonctions.

30/11 : Mots clefs : les exemples canoniques (Dirac, valeur principale).

En complément du cours : par exemple l'ouvrage [CZ]. Voir aussi le cours d'Isabelle Gallagher au DMA, qui expose proprement la topologie dont il faut munir l'ensemble des fonctions tests.

Une note pour établir que si deux distributions régulières sont égales alors les fonctions sous-jacentes le sont presque partout.

07/12 : Mots clefs : Convolution ; Séries de Fourier

En complément du cours : par exemple l'ouvrage [CZ]. Voir aussi la démonstration par Irving et Kirkwood de l'expression du tenseur des contraintes microscopiques.

Retenir que la convolution est un produit qui permet d'étendre les concepts d'inverse, d'élément neutre, etc, aux distributions.

5. Transformée de Fourier

On peut approcher uniformément une fonction périodique continue par une suite de polynômes trigonométriques.

14/12 : Mots clefs: Parseval et Dirichlet

L'intégrale au carré d'une fonction périodique s'exprime comme la somme des modules au carré des coefficients de Fourier.

En complément : le chapitre 10 de [WA]

6. Transformée de Laplace

04/01 : Mots clefs : théorie de Sturm-Liouville

7. Équations différentielles et fonctions de Green

Le rôle de la base de Fourier pour les équations différentielles linéaires à coefficients constants. Fonction de Green. Équations différentielles linéaires à coefficients non constants et coefficients de Fourier généralisés. On peut généraliser la construction de Fourier (même en l'absence d'invariance par translation). Toutes les fonctions spéciales (Hermite, Legendre, Bessel, hypergéométriques, Tchebychev, etc) relèvent de la même construction.

En complément du cours : lire ce que Michael Berry a à en dire.

France 5 TV sur la théorie de Sturm Liouville.

Une note qui donne quelques détails sur la démonstration des propriétés des valeurs et vecteurs propres de l'opérateur différentiel L.

11/01 : Mots clefs : Fonctions de Green

Fonctions de Bessel et autres exemples. Fonctions de Green en dimension plus élevée. Rôle des conditions aux limites dans la possibilité de définir un inverse (une fonction de Green). Le laplacien, les conditions de Dirichlet de Von Neumann. Fonction de Green du champ libre massif.

Quelques perspectives sur ce qu'on a couvert ce trimestre, et sur ce qui manque.

??/?? : Mots clefs : Introduction à la géométrie différentielle en deux et trois dimensions

8. Courbes et nappes