Mathématiques pour physiciens L3 FIP

Correspondance mathématique entre Legendre et Jacobi, Bulletin des sciences mathématiques et astronomiques 9, 126 (1875)

Déroulé du cours

1. Intégration et probabilités

2. Fonctions de plusieurs variables

3. Fonctions de la variable complexe

4. Distributions

5. Transformée de Fourier

6. Transformée de Laplace

7. Équations différentielles et fonctions de Green

8. Courbes et nappes

Chapitre 1. Intégration et probabilités

20/09 : Mots clefs : univers, tribu, mesure, boréliens, fonctions étagées, intégrale de Lebesgue, changement de variable, et théorème de convergence dominée.

Il existe une construction de l'intégrale, dans un esprit un peu différent de celle de Riemann (mais qui l'inclut) qui permet d'aborder les manipulations de type interversion somme infinie/intégrale, ou dérivée par rapport à un paramètre/intégrale au moyen de théorèmes de convergence dominée. On introduit la notion d'ensemble de mesure nulle (qui permet aussi de donner un sens mathématique à la locution "presque partout"). La construction de l'intégrale repose sur la mesure de Lebesgue (essentiellement la longueur d'un intervalle sur la droite réelle). Les notions de tribu et de mesure seront utiles lorsqu'il s'agira de décrire la façon dont les probabilités et l'aléatoire sont décrit dans un cadre mathématique rigoureux.

À lire : ch3 de [WA]. Eventuellement lire à distance le ch 2. En complément du cours : sur la théorie de la mesure [AG] ou, peut-être moins formel, le polycopié d'Arnaud Guyader.

Lire la préface de Lebesgue dans son ouvrage Leçons sur l'intégration et la recherche des fonctions primitives.

En TD : 1.1, 1.2, 1.3, 1.4.

27/09 : Mots clefs : probabilités, discrètes et continues, jacobien

La construction de l'intégrale s'étend en plusieurs dimension, et la formule du changement de variables fait intervenir le déterminant de la matrice jacobienne. Retenir le vocabulaire des probabilités (loi, densité, fonction de répartition, moments, moments centrés, cumulants, fonction caractéristique ou génératrice).

À voir en complément : sur le jacobien, voir 3blue1brown. Sur les cumulants et les corrélations connexes voir ceci pour les liens avec les graphes.

Une petite note sur la formule de transfert.

En TD : 1.9 , 1.10 , 1.11 , 1.12

04/10 : Mots clefs : la gaussienne/loi normale, et le théorème central limite

La loi normale est la densité de probabilité dont il faut tout connaître (ses moments, ses cumulants) mais bien d'autres lois font partie de la bibliothèque obligée. On a passé en revue les différents types de convergence impliquant des variables aléatoires, et mis l'accent sur le théorème central limite dont la robustesse sous-tend bien des résultats de physique statistique. On a conclut en présentant quelques éléments de théorie de l'information.

À lire : ch 20 et 21 de [WA] sur les variables aléatoires et les théorèmes limites.

En complément du cours : les notes de Gavin Crooks sur la théorie de l'information sont remarquables (voir ici et là). Il y a aussi une présentation des lois les plus courantes, pour aller au-delà des exemples canoniques présentés en cours (à ne pas lire d'une traite, seulement pour picorer).

En TD : 1.12 , 1.13, 1.16

En tutorat (le 06/10) : 1.18, 1.17, 1.15

Trois types de convergence (presque sûre, en probabilité, en loi) : la preuve de l'implication "sûre implique probabilité implique loi". La démonstration n'est pas à connaître.

11/10 : Mots clefs : Mesure de l'information.

On a conclu le chapitre 1 en présentant quelques notions de théorie de l'information, dont l'entropie de Shannon et celle de Kullback-Leibler.

Chapitre 2. Fonctions de plusieurs variables

11/10 : Mots clefs : gradient, différentielle, formule de Taylor à plusieurs variables, Jacobienne, hessienne, convexité

En complément du cours : quelques notes sur les opérateurs différentiels et le théorème de Green-Riemann dans ses applications en physique. Lire ou regarder le cours d'A. d'Aspremont d'optimisation convexe (notamment l'introduction à la convexité).

En TD : 1.21, 2.1, 2.2

En tutorat (le 12/10) : 2.7, 2.8

13/10 : Mots clefs : caractérisation d'un minimum, sur un ensemble convexe, pour des fonctions convexes

Si la hessienne existe et est définie positive on a un minimum local ; les points critiques comme extrema à l'intérieur d'un compact (et sinon voir sur le bord).

À lire : annexe B de [WA]

14/10 : Mots clefs : optimisation avec contraintes égalités ou inégalités, multiplicateurs de Lagrange et de Karush-Kuhn-Tucker

Le théorème de Karush-Kuhn-Tucker pour les problèmes d'extrema avec contraintes inégalités fait aussi intervenir des multiplicateurs et une fonction auxiliaire.

Une petite note sur les multiplicateurs de Lagrange.

Chapitre 3. Fonctions de la variable complexe

14/10 : Mots clefs : convergence d'une série dans le plan complexe, principe des zéros isolés

Les fonctions analytiques sont les fonctions développables en série entière. Leur comportement dans un ouvert détermine leur comportement "partout".

18/10 : Mots clefs : principe du maximum, principe du prolongement, chemin, lacet, homotopie, intégrale dans le plan complexe, indice.

L'intégrale dans le plan complexe est vue comme une intégrale le long d'un chemin paramétré. Parfois, certaines intégrales ne dépendent pas du chemin suivi. Mais la topologie de l'espace (le fait qu'il soit simplement connexe ou non) joue un rôle important. L'indice d'un point par rapport à un lacet est le nombre (algébrique) de fois que lacet entoure le point.

25/10 : Mots clefs : théorème de Morera puis théorème de Goursat-Cauchy, et formule de Cauchy

La valeur d'une fonction holomorphe en un point est donnée par ses valeurs sur un cercle entourant ce point (correctement pondérées).

08/11 : Mots clefs : singularités des fonctions analytiques (série de Laurent, pôle)

Il y a trois types de singularités isolées (les singularités apparentes, les pôles et les autres).

15/11 : Mots clefs : Formule des résidus, application des résidus, notion de coupure, logarithme.

La formule des résidus est toute puissante pour calculer avec facilité une grande variété d'intégrales réelles.

22/11 : Mots clefs : méthode du col.

On a discuté la notion de coupure, qui permet de définir, sous condition, l'inverse de certaines fonctions holomorphes (telle l'exponentielle). On a enfin exploré les bases de la méthode du point selle, en examinant en premier lieu des intégrale "gaussienne" à paramètre complexe.

Chapitre 4. Distributions

22/11 : Mots clefs : Espace de Schwartz.

29/11 :

06/12 :

Chapitre 6. Equations différentielles et fonctions de Green

13/12 : Deux séances à la suite.